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Pour comprendre les mathématiques des corrélations, supposons une situation simple : celle d’un jeune garçon dans une école primaire que nous appellerons Pierre.


Pour Pierre, la probabilité que ses parents divorcent cette année est d'environ 5 %, le risque d’avoir des poux est d'environ 5 %, la « chance » de voir un enseignant glisser sur une peau de banane est d'environ 5 % et la probabilité qu’il gagne le concours d'orthographe de sa classe est également d'environ 5 %.
Si des investisseurs souhaitaient négocier des titres lors de transactions basées sur les chances que les choses se passent ainsi pour Pierre, alors toutes les transactions se négocieraient au même prix (probabilité d’occurrence quasiment identique). Voilà pour la situation simple.

Mais l’on peut passer à une situation plus « complexe ». Par exemple, quelque chose d'important va se passer lorsque l’on commence à regarder deux enfants plutôt qu'un seul, pas seulement Pierre, mais aussi son camarade Jacques qui s’assied près de lui.

Si les parents de Jacques divorcent, quelle est la probabilité que les parents de Pierre divorcent ? Toujours de 5 % ? (Nous vous laissons regarder autour de vous pour répondre). Si Jacques a des poux, le risque que Pierre assis près de lui attrape des poux serait d’environ 50 %, ce qui signifie que la corrélation serait probablement autour de 0,5. Si Jacques voit un enseignant glisser sur une peau de banane, quelle est la probabilité que Pierre le voit également ?

Effectivement très élevée, car ils sont assis l’un à côté de l’autre. La probabilité pourrait être par exemple de 95 % ce qui signifie une corrélation proche de 1. De même, si Jacques gagne le concours d'orthographe de la classe, la chance que Pierre ait de le gagner est nulle, ce qui signifie que la corrélation est négative (-1).
Comment feraient alors les investisseurs pour évaluer le prix des titres négociés en tenant compte à la fois de Pierre et de Jacques avec de telles variations de corrélations ? En fait, certaines calamités ne sont pas forcément isolées. Prenez le cas par exemple de la chute de la valeur des maisons de votre quartier, elle touchera également votre voisin et finira par vous impacter un jour ou l’autre.
Maintenant faites la démonstration pour des Etats (les pays européens par exemple) et surtout n’oubliez pas de consulter les données historiques pour le calcul des corrélations !
Alors la corrélation en finance n’est-elle pas charlatanisme ?
Permettez-moi de vous rappeler l’histoire de David X. Li. Cet illustre mathématicien chinois eu dans les années 2000 une idée de génie, du moins pendant quelques années. Son idée était simple : puisque les corrélations posent un problème, pourquoi alors essayer de cartographier les différentes corrélations et de calculer toutes les relations ? Peu importe que l’on mélange différentes corrélations entre elles. La seule chose qui compte n’est-ce pas la corrélation finale (cf. une variable aléatoire appelée « temps de survie entre chaque défaut » et un coefficient de corrélation entre les temps de survie.) Voici résumée dans les grandes lignes sa « géniale » idée sur les corrélations.
Pendant cinq ans, la formule de Li, connue sous le nom d'une fonction copule gaussienne, a permis de modéliser des risques extrêmement complexes avec une grande facilité et une précision jamais connue auparavant.
Avec un tour de passe-passe mathématique simplifiant abusivement le problème des corrélations, Li a permis une expansion des marchés financiers à des niveaux inimaginables. Sa méthode fut adoptée par de nombreux investisseurs, par Wall Street, les agences de notation et même les régulateurs.
Mais en 2007, des fissures ont commencé à apparaître lorsque les marchés financiers eurent un comportement différent de celui imaginé par notre illustre génie. En 2008, les fissures sont devenues des gouffres en causant des pertes financières abyssales avec comme conséquence majeure une déstabilisation du système financier mondial. Li avait tout simplement oublié que les corrélations entre des quantités financières sont notoirement instables. (Il n’était toutefois pas le seul.) L’approche de Li ne faisait aucun cas de l'imprévisibilité.
Mais est-ce vraiment la faute de David X. Li et de sa formule mathématique ? Pour notre part la réponse est claire, ce ne sont pas les mathématiques qui sont en cause mais ceux qui les utilisent sans les comprendre malgré les nombreuses mises en garde.

Je ne saurai conclure cet article sans cet extrait de Hamlet de W. Shakespeare que je laisse à votre réflexion : Il y a plus de choses dans le ciel et sur la terre, Horatio, que n'en rêve votre philosophie.

Rédigé par Patrick JAULENT le Dimanche 6 Mai 2012 à 15:18


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Dr Patrick JAULENT



Patrick Jaulent a plus de 25 ans d'expérience en Performance des organisation publiques et privées.


Ancien consultant, professeur.


Plus de 80 projets en pilotage de la performance réalisé.


C'est un Expert en Définition & Exécution stratégique, Tableaux de bord & Indicateurs de performance


Auteurs de plusieurs ouvrages sur ces sujets (Piloter vos performances, édition AFNOR - Méthodes de Gestion comment les intégrer Editions d'organisation - Les leviers de la performance Editions Riscus) et Objectif performance (éditions AFNOR)





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